Orde verrast wiskundigen

Wiskundigen blijken hun grondstoffen soms minder goed te kennen dan ze denken. In de jongste proceedings van de Amerikaanse National Academy of Sciences laten twee wiskundigen zien dat niet-algebraïsche getallen als pi soms eenvoudiger in elkaar steken dan algebraïsche getallen als de wortel uit twee....

De eindeloze reeks cijfers achter de komma in wortel twee (1,4142135623. . .) is volgens wiskundigen Steve Pincus en Rudolf Kalman ongeordender dan in het getal e (2,7182818284. . .), de basis van de veel ingewikkelder differentiaalrekening. Daarna komt wortel drie.

De cijfers achter de komma van pi, de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel, blijken verreweg het meest willekeurig. Dat verrast weinigen. Maar de meest wiskundigen zouden hebben gezworen dat e complexer was dan een elementaire wortel.

Bij de analyses maakte het tweetal gebruik van een techniek die de afgelopen jaren door Pincus en Burton Singer van de Universiteit van Princeton is ontwikkeld. Daarbij wordt elk cijfer uit de cijferreeks eerst digitaal gecodeerd in enen en nullen.

Van de eindeloze reeks enen en nullen is uit te rekenen hoe willekeurig die is. Uitgangspunt is dat in een steekproef uit een volstrekt willekeurige reeks niet alleen even veel enen als nullen voorkomen, maar ook even veel tweetallen 00, 01, 10 en 11 en zo verder met drietallen en viertallen en meer.

Zo ontstaat een statistische maat voor de willekeurigheid van een reeks. Een reeks als 01101100. . . is zo duidelijk willekeuriger dan 01010101. . .

De willekeurigheid van cijferreeksen heeft praktische betekenis. Zowel medische studies als natuurkundige computersimulaties zijn vaak afhankelijk van voldoende willekeurigheid van het studiemateriaal. Zeker in de cryptografie is een test voor ordeloosheid zeer waardevol.

Meer over