Precies dit soort bewijzen zijn de reden dat ik ooit voor wiskunde koos

Ionica Smeets
null Beeld anp
Beeld anp

Vorige week kreeg ik een e-mail van een Russische vrouw die beschreef hoe zij als uitwisselingsstudente in een New Yorkse stripclub belandde. En hoe het verbazingwekkend leuk bleek om daar te werken. Gisteren schreef iemand me dat de Koreaanse film Sad Movie een aanrader is.

Dankzij de Listserve krijg ik elke dag een berichtje van een willekeurige onbekende. Deze mailinglist is een loterij waarbij elke dag een van de abonnees aan iedereen mag schrijven. Ik heb de lijst hier al eerder genoemd en kan hem niet genoeg aanbevelen. Je krijgt fascinerende inkijkjes in levens van mensen die je normaal nooit zou ontmoeten; met intieme bekentenissen, grappige anekdotes en persoonlijke adviezen.

Een van mijn favoriete berichten van de afgelopen tijd kwam van de Australische wiskundestudent Matt S. Hij beschreef een tentamenopgave die hij fantastisch vond. Ik geef hier een versimpelde versie van de opgave, die is net iets gemakkelijker uit te leggen.

Gegeven zijn vijf punten op de hoekpunten van een vel ruitjespapier. Bewijs dat er daartussen altijd twee punten zijn waarvan het middelpunt óók precies op een hoekpunt valt. Als je ruitjespapier hebt liggen, dan kun je het eens proberen. Het lukt inderdaad altijd. Maar waarom?

Voor het bewijs nummer je de punten op het ruitjespapier in twee richtingen. Een hoekpunt kun je vervolgens beschrijven met geheeltallige coördinaten zoals (2, 3) of (4, 5). Het midden tussen twee gegeven punten vind je door de coördinaten te middelen. Precies halverwege tussen (2, 3) en (4, 5) ligt het punt (3, 4). Dat is óók een hoekpunt. Maar midden tussen (3, 4) en (4, 5) ligt (3', 4') en dat is géén hoekpunt.

Wanneer is het middelpunt van twee gegeven hoekpunten zelf een hoekpunt? Het is gemakkelijk na te gaan dat dit gebeurt als zowel voor de eerste als tweede coördinaat het verschil tussen de twee punten een even getal is.

Het verschil tussen een even en een oneven getal is onherroepelijk oneven. Tussen twee even getallen of juist twee oneven getallen is het verschil wél even. Kortom; om bij de eerste coördinaat een even verschil te krijgen, moet dit getal óf bij allebei de punten even zijn óf juist bij allebei de punten oneven. Hetzelfde geldt voor de tweede coördinaat.

We kunnen hiermee hoekpunten indelen in vier categorieën: (even, even), (even, oneven), (oneven, even) en (oneven, oneven). Alleen twee punten die in dezelfde categorie vallen, hebben hun middelpunt op een hoekpunt.

Vervolgens gebruik je het duivenhokprincipe, dat zegt dat als je meer duiven in een duiventil plaatst dan er hokjes in die duiventil zijn, je altijd minstens één hokje krijgt waar meer dan één duif inzit. In dit geval hebben we vier verschillende categorieën en vijf gegeven hoekpunten. Dus er is één categorie waarin minstens twee van die gegeven hoekpunten vallen. Conclusie: tussen vijf gegeven hoekpunten zijn er altijd twee waarvan het midden ook een hoekpunt is.

Matt S. mailde een soortgelijk bewijs, maar dan voor drie dimensies. Ik snap zijn enthousiasme wel. Precies dit soort bewijzen zijn de reden dat ik ooit voor wiskunde koos. De elegantie, de zuiverheid van de redenering, de onvermijdelijkheid van het antwoord. En zoiets krijg je dan zomaar op een miezerige woensdagavond in je mailbox dankzij de Listserve.

Meer over