Column

Geen wiskundig systeem kan dit oplossen

Ionica zag een getal

null Beeld anp
Beeld anp

Hoe moeilijk kan het zijn? Verschillende lezers mailden over de loting voor Amsterdamse middelbare scholen. Daar krijgen de populairste scholen elk jaar te veel aanmeldingen. Zij moeten hun felbegeerde plekken op de een of andere manier verdelen. Dit jaar gebeurde dat voor het eerst met een matchingsysteem, maar vorige week werd bekend dat Amsterdam volgend jaar weer gaat loten.

De reacties op de matching waren dan ook niet erg enthousiast: 1.900 kinderen kwamen niet op de school van hun eerste keus en ouders waren woedend. De meeste verbazing wekten de paren van leerlingen die op de favoriete school van de ander waren ingedeeld. Waarom mochten zij niet ruilen? Ouders stapten naar de rechter, maar die was onverbiddelijk: ruilen zou het systeem ondermijnen.

Hoe kan dit toch? Wiskundig gezien is de verdeling van plaatsen doodeenvoudig. Als je het aantal beschikbare plekken per school kent en weet hoe tevreden leerlingen zijn met een plek op een bepaalde school, is het een fluitje van een cent om de verdeling te berekenen waarbij de totale tevredenheid maximaal is.

Er is alleen één gigantisch probleem: je wéét niet hoe tevreden leerlingen zijn met een bepaalde school. Sterker nog: bij een loting kan het als scholier gunstig zijn om te liegen over je voorkeur. Neem het systeem waarbij elke leerling domweg mag opgeven wat zijn favoriete school is. Scholen met te veel aanmeldingen loten wie ze toelaten. Kinderen die zijn uitgeloot, kunnen bij de volgende ronde alleen kiezen uit de scholen waar er nog plek is. En zo gaat het door tot iedereen een plaatsje heeft. (Dit lijkt niet geheel toevallig op de Amsterdamse loting.) Het voordeel van dit systeem is dat zoveel mogelijk leerlingen op de school van hun eerste keus belanden. Het nadeel is dat de afvallers in de tweede ronde weinig keus hebben. Daarom kan het slim zijn om aan het begin te liegen over je voorkeur.

Stel dat jij aan deze loting moet meedoen en het aller-aller-liefste naar een school wilt waarvan je weet dat de kans op inloting bij de eerste ronde 40 procent is. Bij de school van je tweede keuze is de kans op inloting maar liefst 90 procent. Alle andere scholen vind je stom. Als je voor je eerste keus gaat, is de kans 60 procent dat je wordt uitgeloot en in de tweede ronde alleen nog kunt kiezen uit stomme scholen. Je hebt veel betere kansen om in een van je twee favoriete scholen te belanden als je liegt over je eerste voorkeur en gelijk je tweede keus opgeeft. Strategisch stemmen loont en daardoor weet bij dit systeem niemand de echte voorkeuren. Waardoor het berekenen van de beste oplossing een onmogelijke opgave wordt.

Dit was precies waarom dat matchingsysteem was ingevoerd. Dat was zo ontworpen dat je als scholier altijd de beste kansen had op een fijne school als je je voorkeuren eerlijk invulde. Daarom mocht er ook niet geruild worden: dan zou strategisch stemmen juist weer gunstig worden.

Dat er dit jaar 1.900 leerlingen níet op hun eerste keus kwamen, terwijl dat er bij eerdere lotingen veel minder waren, zegt dus eigenlijk niet zoveel. Bij die lotingen zijn de echte voorkeuren namelijk niet bekend. De matching was in die zin transparanter. Alleen bleek dit idee volkomen onverkoopbaar aan kinderen die door ruilen veel gelukkiger waren geworden.

Het échte probleem is dat er honderden leerlingen naar scholen willen waar er geen plek is voor hen. Zij zullen hoe dan ook teleurgesteld zijn. En er is geen enkel wiskundig systeem dat dit op kan lossen.

Meer over