De formules achter de bloemkool De kustlijn van Groot-Brittannië en andere fractalen

Benoît Mandelbrot schiep rond 1980 een heel nieuwe tak van de wiskunde, die veel van de grilligheid van de alledaagse wereld leek te vangen. Vorige week overleed de ontdekker van de fractals.

Wie halverwege de jaren tachtig wilde pronken met zijn nieuwe pc met kleurenscherm - toen nog een relatief zeldzaam bezit - zette een stukje software aan het werk dat fractals schiep. In een mum van tijd vulde het computerscherm zich met duizelingwekkende geometrische patronen in spetterende kleuren. Deze fractalen deden een beetje denken aan de vlekken van een rorschachtest of de psychedelische vloeistofdia's in de jaren zestig bij popconcerten op muren werden geprojecteerd.


Het verschil tussen deze verschillende verschijningen is dat de vlekken en vloeistofdia's inderdaad grillig zijn. De fractalen lijken bij nadere ontleding met een ijzeren hand gesmeed. Alsof de patronen waaruit ze bestaan door een waanzinnige wiskundige secuur zijn berekend.


Gek was Benoît B. Mandelbrot niet, de man die fractalen hun naam gaf. Wel was hij behept met een lenige geest, die de in een Litouws gezin in Warschau geboren mathematicus in staat stelde om de moderne wiskunde met een heel nieuw vakgebied uit te breiden, de fractale geometrie. Mandelbrot stierf vorige week in Cambridge (Massachusetts), een maand voor hij 86 zou worden.


Daarin gaat het over wiskundige objecten die een gebroken dimensie hebben: doorgaans ergens tussen 1 (een lijn) en 2 (een vlak) in. Fractalen op het beeldscherm waren het resultaat van complexe wiskundige formules, die aangeven of een bepaald punt binnen of buiten de zogeheten Mandelbrot-verzameling valt.


De fraaie grafieken, vaak ingekleurd voor extra dramatisch effect, bestaan doorgaans uit donkere gebiedden met punten die in de verzameling vallen, en lichte die erbuiten vallen. Het fraaie van de gecomputeriseerde fractalen is dat als je op een scherm inzoomt op een detail, steeds dezelfde patronen tevoorschijn komen als op een hoger niveau te zien zijn. Op elke schaal treedt weer dezelfde grillige patroon van punten binnen en buiten de verzameling aan het licht.


Ook in de natuur, hoe rommelig die vaak ook lijkt, vind je volgens Mandelbrot dergelijke repeterende structuren terug. De structuur van het blad weerspiegelt de structuur van de boom. Die zichzelf steeds herhalende grilligheid ontwaarde de wiskundige in alles wat ons omringt.


Vóór Mandelbrot tot zijn inzichten kwam, beperkten wiskundigen zich liever tot klassieke objecten als punten, lijnen, vlakken, bollen, driehoeken en kegels. Die laten zich nauwkeurig uitrekenen. Grillige vormen konden ze niet goed in formules vangen. Tot Mandelbrot begon na te denken over de kustlijn van Groot-Brittannië.


Die heeft op elke kaart weer een andere lengte. Het probleem, bedacht Mandelbrot, is namelijk dat de makers elk een eigen meetlat gebruiken. Metingen met een satelliet leveren een ander beeld op dan wat een landmeter op de grond ziet, omdat de kust vanuit de ruimte een veel gladder verloop heeft. Die aardse landmeter moet ook landtongen en inhammen meetellen. Bij elke vergroting - inzoomen op individuele rotsen, individuele kiezels - valt de schatting weer hoger uit. De Britse kustlijn is dus eigenlijk oneindig lang, aldus de wiskundige.


Boek

In zijn boek The Fractal Geometry of Nature, dat in 1982 verscheen, beschreef Mandelbrot voor het eerst precies hoe wiskundigen zulke grillige dimensies in formules konden vangen. Hij strooit in het werk met een grote hoeveelheid voorbeelden van fractalen, ook buiten zijn directe vakgebied. Breek een stronk bloemkool in steeds kleinere partjes en


Vervolg op p2


De kustlijn van Groot-Brittannië en andere fractalen

Vervolg van p1


ook de kleinere partjes zullen steeds op dezelfde manier zijn opgebouwd als het grotere geheel.


Wat geldt voor bloemkolen gaat volgens Mandelbrot ook op wolken, sneeuwvlokken, rivierdelta's, longen, bloedvaten, poreus gesteente, tijdreeksen van aardbevingen, waterstanden en ook de aandelenhandel.


Dat laatste had hij al eens laten zien in wat als een eerste aanzet voor zijn theorie wordt beschouwd. In een artikel dat hij in 1963 publiceerde, toonde Mandelbrot aan dat de grillige financiële markten wel degelijk herkenbare patronen kennen (hoewel niet per se in de voorspellende mate waarvoor handelaren een moord zouden doen).


Dankzij de sterke computers waarover zijn werkgever beschikte - Mandelbrot trad in 1958 in dienst als onderzoeker bij IBM - kon hij zestig jaar aan gegevens over de Amerikaanse katoenhandel ontleden. De opmerkelijkste conclusie luidde dat de dagelijkse en maandelijkse prijsveranderingen een bijna identiek gedrag vertonen.


Bewijslast

Het artikel deed in 1963 amper stof opwaaien, omdat Mandelbrot geen verklaring gaf voor het fenomeen - wat beleggers natuurlijk graag hadden gezien. Met de bewijslast had de wiskundige wel vaker moeite. Ook voor andere verschijningsvormen van geordende chaos droeg hij niet altijd materiaal aan dat in beton gegoten is. Dat vond hij niet zijn werk. Zijn rol, stelde Mandelbrot, was anderen aan het denken zetten - zodat ze zijn gedachtenspinsels van handen en voeten zouden voorzien. Zijn aanpak riep hier en daar scepsis op en kritiek die ook in wetenschappelijke bladen werd geventileerd - tot groot ongenoegen van het wiskundige genie zelf.


Zoals in 1998, toen een groep Israëlische onderzoekers de kachel aanmaakte met bijna honderd studies waarin onderzoekers gewag maken van fractale verschijnselen. De Israëliërs stelden dat er in deze studies niet ver genoeg is gekeken. Het waren volgens hen geen fractalen in strikt wiskundige zin.


'Een echte fractaal is een object dat op iedere schaal weer dezelfde vorm aanneemt', zei David Avnir, een chemicus die het team leidde, destijds in de Volkskrant. 'In deze publicaties is daarvan in de verste verte geen sprake.'


In de meeste studies bleken geleerden slechts een beperkt aantal vergrotingen te hebben bekeken - tot een factor tien. Of de vormvastheid nog zou opgaan bij nog eens een factor tien, of honderd, was meestal niet eens onderzocht.


Het deed niets af aan het wiskundige werk van Mandelbrot, bezwoer overigens Avnir. 'We zeggen alleen dat fysici en scheikundigen het begrip fractaal veel vrijer opvatten.'


In de necrologie die The New York Times aan beroemde wiskundige wijdde, neemt een vooraanstaande Duitse vakgenoot het voor Mandelbrot op. 'Hij spendeerde niet maanden en jaren aan het verzamelen van het bewijs voor zijn waarnemingen', erkent Heinz-Otto Peitgen, een hoogleraar wiskunde en biomedische wetenschappen aan de universiteit van Bremen.


Maar dat doet voor Peitgen niets af aan zijn baanbrekende werk. 'Als we kijken naar de invloed van fractalen op de wiskunde en de wetenschappelijke toepassingen, dan is Mandelbrot een van de belangrijkste figuren van de laatste vijftig jaar.'


Op erkenning moest Mandelbrot soms misschien wel lang wachten, maar hij kreeg het vaak toch en ook buiten zijn vakgebied. Zo bewees de kredietcrisis, die de wereldeconomie de laatste jaren in chaos stortte, de opvatting van Mandelbrot dat de modellen waarop investeerders hun aan- en verkoopbeslissingen stoelen op drijfzand zijn gebouwd. Die modellen houden geen rekening met grote schommelingen die een ongekend effect op de lange termijn hebben. Decennia lang bleef Mandelbrot op dat aambeeld hameren.


'Vijftig jaar lang hebben mensen gedaan alsof ik gek was', liet Mandelbrot zich vorig jaar ontvallen op een technologiecongres in Long Beach. 'Ik kan je zeggen, nu luisteren ze wél.'


Zijn werk leeft hoe dan ook voort op miljoenen computerschermen, waar fractalen nog steeds populair zijn als screensaver.


Meer over